\chapter{1935年罗伯逊推导宇宙方程的FLRW度规过程}

		\section{引言}
		在宇宙学发展中，罗伯逊（H.P. Robertson）于1935年基于宇宙学原理推导了描述宇宙膨胀的时空度规，这一工作与沃尔克（A.G. Walker）1936年的贡献共同形成了罗伯逊-沃尔克度规（Robertson-Walker metric），后因弗里德曼（A. Friedmann）和勒梅特（G. Lemaître）的早期工作，被统称为FLRW度规（Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric）$^7$。该度规是现代宇宙学的数学核心，为描述均匀各向同性宇宙的膨胀提供了标准框架$^8$。本文详细阐述罗伯逊1935年的推导过程，聚焦其如何从广义相对论和宇宙学原理导出度规形式。
		
		\section{宇宙学原理与度规形式}
		罗伯逊的推导始于宇宙学原理，即宇宙在大尺度上均匀且各向同性$^6$。这一原理要求四维时空具有最大对称性，时空线元可表达为时间与空间分离的形式$^3$。具体而言，度规需满足：
		\begin{equation}
			ds^2 = -dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right],
		\end{equation}
		其中 $ t $ 是宇宙时间（cosmic time），$ a(t) $ 是尺度因子（scale factor）描述宇宙膨胀速率，$ k $ 是空间曲率常数（curvature parameter），取值 $ k = -1, 0, 1 $ 分别对应开宇宙、平直宇宙和闭宇宙的几何结构 $^{1,7}$。这一形式确保了任意固定时刻的三维空间是均匀且各向同性的最大对称子空间$^10$。
		
		\section{推导过程}
		罗伯逊的推导基于广义相对论，核心步骤包括：设定度规一般形式、计算联络系数（Christoffel符号）、推导里奇张量（Ricci tensor），并代入爱因斯坦场方程。以下是关键数学过程。
		
		\subsection{度规一般形式设定}
		由宇宙学原理，时空线元可一般化为：
		\begin{equation}
			ds^2 = -dt^2 + a^2(t) \, g_{ij} \, dx^i dx^j,
		\end{equation}
		其中 $ g_{ij} $ 是三维空间度规。在球坐标系 ($ r, \theta, \phi $) 下，最大对称空间要求 $ g_{ij} $ 满足：
		\begin{equation}
			dl^2 = \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2.
		\end{equation}
		罗伯逊通过对称性论证，证明此形式是唯一满足均匀性和各向同性的解$^{7,9}$。
		
		\subsection{Christoffel符号计算}
		联络系数 $ \Gamma^{\mu}_{\rho\sigma} $ 由度规导出。对FLRW度规计算关键分量（非零项）：
		\begin{align}
			\Gamma^{0}_{ij} &= \delta_{ij} \, \frac{\dot{a}}{a}, \\
			\Gamma^{i}_{0j} &= \Gamma^{i}_{j0} = \delta^{i}_{j} \, \frac{\dot{a}}{a}, \\
			\Gamma^{r}_{rr} &= \frac{k r}{1 - k r^2}, \quad \Gamma^{\theta}_{\theta r} = \Gamma^{\theta}_{r\theta} = \frac{1}{r}, \quad \text{等（空间分量依赖 } k\text{）}$^12$.
		\end{align}
		其中 $ \dot{a} = da/dt $ 表示尺度因子的时间导数。联络系数反映了时空的曲率特性。
		
		\subsection{Ricci张量与标量曲率}
		里奇张量 $ R_{\mu\nu} $ 和标量曲率 $ R $ 由联络系数二阶导数构造。计算时间-时间分量 ($ R_{00} $) 和空间-空间分量 ($ R_{ij} $) :
		\begin{align}
			R_{00} &= -3 \frac{\ddot{a}}{a}, \\
			R_{ij} &= \left( \frac{\ddot{a}}{a} + 2 \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{2k}{a^2} \right) g_{ij}, \\
			R &= -6 \left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} \right).
		\end{align}
		其中 $ \ddot{a} = d^2a/dt^2 $。这些结果直接源自联络系数的微分运算。
		
		\subsection{代入爱因斯坦场方程}
		爱因斯坦场方程为 $ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 8\pi G \, T_{\mu\nu} $，其中 $ T_{\mu\nu} $ 是能量-动量张量。假设宇宙为理想流体（如尘埃或辐射），有：
		\begin{equation}
			T_{\mu\nu} = (\rho + p) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu},
		\end{equation}
		其中 $ \rho $ 是能量密度， $ p $ 是压力， $ u_\mu $ 是四维速度场$^1$。结合里奇张量：
		\begin{itemize}
			\item \textbf{时间-时间分量（$ G_{00} $）}：导出第一个弗里德曼方程：
			\begin{equation}
				\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho.
			\end{equation}
			\item \textbf{空间-空间分量（$ G_{ij} $）}：导出第二个弗里德曼方程：
			\begin{equation}
				2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{k}{a^2} = -8\pi G p.
			\end{equation}
		\end{itemize}
		罗伯逊通过此步骤，将度规形式与宇宙动力学（膨胀速率、物质分布）直接关联$^{1,7}$。
		
		\section{结论}
		罗伯逊1935年的推导确立了FLRW度规作为描述宇宙演化的普适数学框架，其核心贡献在于严格证明：基于宇宙学原理和广义相对论，时空度规必须具有形式（1），并由此导出弗里德曼方程$^{7,9}$。这一工作为现代宇宙学奠定了基础，使宇宙膨胀理论从数学模型转化为可观测现象（如哈勃红移）的预言工具$^8$。FLRW度规至今仍是宇宙学研究的支柱，印证了罗伯逊推导的深远影响$^8$ $^10$。

\chapter{1936年沃克对FLRW宇宙度规的数学推导}

		\begin{abstract}
			本文详细重构了阿瑟·杰弗里·沃克(Arthur Geoffrey Walker)于1936年基于宇宙学原理推导均匀各向同性宇宙时空度规的数学过程。通过严格分析三维最大对称空间的曲率特性，沃克独立建立了以尺度因子为核心的膨胀宇宙几何模型，完善了现代宇宙学的理论基础。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		1936年，沃克在《伦敦皇家学会学报》发表论文，基于宇宙学原理的严格数学表述，推导出描述均匀各向同性宇宙的度规形式。该工作与罗伯逊1935年的研究共同构成了FLRW度规的理论基础，其核心是通过微分几何证明：满足空间均匀性和各向同性的四维时空度规必须具有特定分离形式4,7。
		
		\section{宇宙学原理的数学表述}
		沃克从以下基本公设出发：
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{空间均匀性}：宇宙任意位置具有相同物理性质
			\item \textbf{各向同性}：所有空间方向物理等效
			\item \textbf{共动坐标系}：星系系综构成理想流体坐标系
		\end{enumerate}
		这些原理要求三维空间子流形具有最大对称性，其黎曼曲率张量满足：
		\begin{equation}
			R_{ijkl} = k(g_{ik}g_{jl} - g_{il}g_{jk}) \quad (i,j,k,l=1,2,3)
		\end{equation}
		其中$k$为空间曲率常数4,7。
		
		\section{度规形式推导}
		\subsection{空间线元构造}
		在球坐标系$(r,\theta,\phi)$下，沃克证明最大对称空间线元必为：
		\begin{equation}
			dl^2 = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)
		\end{equation}
		参数$k$的取值决定空间几何：
		\begin{align*}
			k &= 1 \quad \text{闭合宇宙（球面）} \\
			k &= 0 \quad \text{平直宇宙（欧氏）} \\
			k &= -1 \quad \text{开放宇宙（双曲）}
		\end{align*}
		此形式由曲率不变性唯一确定$^{1,4}$。
		
		\subsection{时间维度引入}
		沃克引入宇宙时$t$和尺度因子$a(t)$，构建四维时空线元：
		\begin{equation}
			ds^2 = -dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right]
		\end{equation}
		该形式满足：
		\begin{itemize}
			\item 空间部分随$a(t)$均匀缩放
			\item 固有时$d\tau = dt$与共动观测者同步
			\item 共动距离$d_{\text{com}} = a(t) \int dr/\sqrt{1-kr^2}$
		\end{itemize}$^{2,4}$
		
		\section{联络与曲率计算}
		\subsection{Christoffel符号}
		度规张量的非零联络系数：
		\begin{align}
			\Gamma^{0}_{ij} &= a\dot{a}\tilde{g}_{ij} \\
			\Gamma^{i}_{0j} &= \frac{\dot{a}}{a}\delta^{i}_{j} \\
			\Gamma^{r}_{rr} &= \frac{kr}{1 - kr^2}, \quad 
			\Gamma^{\theta}_{\theta r} = \frac{1}{r}, \quad \text{...（空间联络项）}
		\end{align}
		其中$\tilde{g}_{ij}$为三维空间度规，$\dot{a} \equiv da/dt$ 。
		
		\subsection{Ricci张量}
		关键曲率分量计算：
		\begin{align}
			R_{00} &= -3\frac{\ddot{a}}{a} \\
			R_{ij} &= \left[ \frac{\ddot{a}}{a} + 2\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{2k}{a^2} \right] \tilde{g}_{ij} \\
			R &= 6\left[ \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} \right]
		\end{align}
		其中$\ddot{a} \equiv d^2a/dt^2$。
		
		\section{爱因斯坦场方程应用}
		\subsection{物质场描述}
		采用理想流体能量-动量张量：
		\begin{equation}
			T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}
		\end{equation}
		其中$\rho$为能量密度，$p$为压强，$u^\mu = (1,0,0,0)$为共动观测者四维速度。
		
		\subsection{动力学方程推导}
		爱因斯坦场方程$G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}$导出：
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{弗里德曼方程}：
			\begin{equation}
				\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}
			\end{equation}
			
			\item \textbf{加速度方程}：
			\begin{equation}
				\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)
			\end{equation}
		\end{enumerate}
		沃克由此建立宇宙膨胀与物质成分的定量关系$^{2,3}$。
		
		\section{结论}
		沃克1936年的推导严格证明：宇宙学原理要求时空度规必须具有形式(3)，其创新在于：
		\begin{itemize}
			\item 完整建立$k = \{-1,0,1\}$曲率参数的几何解释
			\item 明确尺度因子$a(t)$与共动坐标系的物理关联
			\item 为哈勃膨胀定律提供相对论性理论基础
		\end{itemize}
		该工作与罗伯逊前期研究共同构成现代宇宙学的标准框架，使FLRW度规成为描述宇宙演化的基石$^{1,4}$。
